2002/06/20

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矢沢久雄

　10進数の6は，2進数で0110になります。それでは，10進数の−6を2進数で表すとどうなるでしょう。−0110でしょうか？いいえ違います。なぜなら，0と1の2種類の情報しか表せないコンピュータには，マイナス符号（−）を表す手段がないからです。0と1とマイナス符号では，3つの情報になってしまいます。そこで，コンピュータは「マイナスの数をプラスの数で表す」という何とも不思議な表現方法を使っているのです。

●マイナスをプラスで表す補数

図1●ピンの数を超えた桁上がりは無視される

　マイナスの数をプラスの数で表す表現方法を「補数（ほすう）」と呼びます。2進数の前に，10進数で補数の考え方を説明しましょう。ここでは，10進数で5−3という引き算をするとします。5−3は，5＋（−3）と同じですね。−3を補数で表すと，つまり−3をプラスの数で表すと7になります。5＋7を計算してください。

5＋7＝12

答えは12になります。このとき「桁上がりを無視する」というルールを定めると，

5＋7＝2

となります。これは，確かに5−3＝2の答えと合っています。なんとも狐につままれたような話ですが，マイナスの数−3をプラスの数7で表すことができたのです。

　ポイントは「桁上がりを無視する」ということです。これが，コンピュータの仕組みに上手くマッチします。コンピュータは，ICのピンの数に応じて，計算できる桁数が限られています。例えば，8本のピンで情報を取り扱うコンピュータなら，計算結果が8桁を超えたら（9桁目に桁上がりしたら），桁上がりした部分は無視される（情報が捨てられる）しかありません。この性質を使って，コンピュータでは補数でマイナスの数を表しているのです。例えば，図1のように1 0000 0000という9桁の2進数は，8本のピンのICでは0になります。最上位桁の1を入れるピンがないからです。

　10進数の場合は，−3と7の関係のように絶対値（符号を考えない値）を足すと10となる（桁上がりする）関係にある数が補数となります。−3の絶対値は3です。3に足すと10となる数は7です。だから，−3の補数は7なのです。

図2●7には3を引く効果がある

　「この説明ではピンとこない」という人のために，補数の関係を，もっと分かりやすいイメージで示しましょう。5−3という計算において−3は，5から3を引こうとしているわけですね。「オレは5から3を引きたいよ〜」と思っているのです（あくまでもイメージです）。5＋7という計算における7はどうでしょう。5に7を足そうとしているわけですが，7が「ボクは5から3を引いて10に桁上がりしたいよ〜」と思っているとも言えますね。皆さんだって，5＋7を計算するときに，5を2と3に分けて，その3を7に足して10としてから，10に2を足して答えは12と考えることがあるでしょう。「まだピンとこない」という人は，納得するまで図2[拡大表示]を見てください。

●2進数の補数表現

　2進数でも補数の考え方は，10進数と同様です。「足すことによって桁上がりする数」が補数です。何桁目を桁上がりとするかを決めた上で，補数を求めることになります。ここでは，8桁（8ビット）の2進数0000 0110（10進数で6）の補数を求めてみましょう。

図3●2進数の各桁を反転させ，その結果に1を加えと，補数を求められる

　2進数の補数は，2進数の各桁を反転させ（0を1に，1を0にする），その結果に1を加えることによって求められます。これを「反転して1」と覚えます（図3[拡大表示]）。

　0000 0110の補数が1111 1010であることがわかりました。0000 0110を10進数で表すと6ですから，補数である1111 1010は10進数の−6を表していることになります。

　「足すことによって桁上がりする数」が補数であるわけですが，どうして「反転して1」によって「足すことによって桁上がりする数」が求められるか，その理屈を理解してください。コンピュータの世界は，丸暗記ではいけません。何事も理屈を知らなければ，コンピュータと仲良くなれません。

　もとの数0000 0110に反転した数1111 1001を足すと，両者は0と1のパターンが逆なので，結果としてすべての桁が1111 1111になります。それなら，もとの数0000 0110に1111 1001より1大きい数を足したらどうなるでしょう。1111 1111に1を足す結果になるので，9桁目に桁上がりすることになりますね。したがって，「反転して1」によって「足すことによって桁上がりする数」が求められるわけです。

図4●0000 0110の補数1111 1010は−6

　0000 0110の補数である1111 1010が−6を表していることを確認しておきましょう。ここでは，10進数の10−6＝4という計算を2進数でやってみます。2進数の桁数は，8桁にします（図4[拡大表示]）。確かに4という答えが得られていますね！

●符号ビットと絶対値

　そもそもコンピュータには，マイナスの数という概念はありません。0と1だけの世界だからです。例えば1111 1111という8桁の2進数は，10進数でいくつか？と聞かれたら，255と答えるのが自然でしょう。ただし，桁あふれを無視するという性質によって，1111 1111は10進数で−1だと考えることもできるのです。これは，10進数の7を3を引く数と考えることができるのと同様です。

　1111 1111が255を表していると見ても，−1を表していると見ても，計算結果は正しくなります。コンピュータにしてみれば，同じ電気信号だからです。1111 1111を255と見て，それに1を足してみましょう。結果は，9桁目に桁上がりして0になります。桁があふれて0になったのです。1111 1111を−1と見て，それに1を足してみましょう。結果は，−1＋1＝0となります。どちらの結果も同じです。

　8桁の2進数0000 0000〜1111 1111は，補数表現でないと見れば10進数の0〜255となります。補数表現であると見れば，−128〜127となります。補数表現の場合は，最上位桁（8ビット目）が1であればマイナスの数を表し，0であればプラスの数を表します（人間の目から見てです）。このことから，最上位ビットを「符号ビット」と呼ぶことがあります。

　例えば，補数表現の0111 1010は，10進数でいくつになるかすぐには分からなくても，符号ビットが0なのでプラスの値であることがわかります。補数表現の1111 0001なら符号ビットが1なので，マイナスの値です。

　それでは，1111 0001は10進数でマイナスいくつになるのでしょう？ここで，マイナスのマイナスはプラスだということを思い出してください。例えば−(−123)＝123ですね。1111 0001は，符号ビットが1なのでマイナスの値ですが，その値（絶対値）は1111 0001を「反転して1」した0000 1111つまり10進数で15となります。したがって，1111 0001は10進数の−15です。「反転して1」は，プラスの数のマイナス表現を求めることも，マイナスの数の絶対値（マイナスのマイナスはプラスだから）を求めることもできるのです。

　最後に，もう1つだけ問題です。補数表現の32ビットの2進数1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111は，10進数でいつくでしょう。答えは，−1です。符号ビットが1なので，マイナスの値です。その値は，1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111を「反転して1」で0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001で1です。このように，何桁であっても「すべての桁が1である2進数は−1を表している」ということをコンピュータの常識のひとつとして覚えておいてください。

　次回は，2進数で小数点数を表す方法を説明します。ご想像のとおり，0と1だけしか表せないコンピュータには，小数点（．）を表す手段もありません。そこで，ちょっとトリッキーな方法が使われています。それは何か？…請うご期待です！