矢沢　久雄

　この講座のテーマは，2進数，浮動小数点数，BCDなどの「データ表現」です。皆さんは「そんなこと，分かりきっているよ！」と思われるかもしれませんが，はたしてそうでしょうか。小数点以下の2進数を10進数に変換できますか。「けた落ち」が生じる原因と，その対策を説明できますか。なかなか，自信を持って「できる」と言える人は少ないでしょう。データ表現は，コンピュータを取り扱う上で，基本中の基本となるものです。

　信じられないことかもしれませんが，コンピュータを使っていると，数値が突然プラスからマイナスに変わってしまったり，誤差が生じて思い通りの計算結果が得られないことがあります。データ表現を知っていれば，このような問題に遭遇しても，原因を究明して適切な対策を施すことができるのです。16進数のダンプ・リストを見たときに，それが10進数でいくつなのかも瞬時に判断できるようになります。コンピュータを使っているなら，データ表現の知識は必要不可欠なものなのです。この機会に，あらためて皆さんの知識を整理してみましょう。

クイズ

　いきなりですが，これから2問ほどクイズを出題させていただきます。これらは，2001年春の基本情報処理技術者試験（旧：第二種情報処理技術者試験）に出題された問題の中から抜粋し，筆者が若干のアレンジを加えたものです。このクイズで，データ表現に関する皆さんの知識を確認してみましょう。解答は，このページの末尾に掲載してあります。

問1　2進数の0110.1100を10進数で表したものはどれか？

ア　6.11
イ　6.3
ウ　6.55
エ　6.75

問2　ある整数値を、負数を2の補数で表現する2進数記法で表すと、最下位3ビットは“101”であった。10進数表記法のもとで、その整数値を8で割ったときのあまりに関する記述として、正しいものはどれか。ここで、除算の商は、絶対値の端数が切り捨てられるものとする。

ア　その整数値が正であれば5
イ　その整数値が負であれば5
ウ　その整数値が負であれば－5
エ　その整数値の正負に関わらず0

　いかがだったでしょう。もしも，解けない問題があっても心配しないでください。この講座に最後までお付き合いいただければ，必ず解けるようになります。

　皆さんは，「コンピュータは，内部的に2進数でデータを取り扱っている」とか，「2進数は，0と1だけですべての数値を表す」といったことは，ご存知でしょう。しかし，Microsoft Excelのようなアプリケーションを使う場合でも，Visual Basicなどのプログラミング言語を使う場合でも，直接2進数に触れる機会はないはずです。人間が使い慣れた10進数で用が足ります。しかし，それでは，自動車の運転はできても内部の構造が分からないのと同じです。旅先で自動車が故障したらお手上げですね。これと同様に，2進数の仕組みを知っていないと，いざコンピュータがおかしな動作をしたときにお手上げになってしまいます。IT業界にいるなら「転ばぬ先の杖」として，2進数をベースとしたコンピュータのデータ表現の基礎をマスターしておきましょう。

コンピュータはなぜ2進数を使うのか？

　コンピュータが2進数を使うことには，必然性があります。ハードウエア的に見れば，コンピュータが，IC（Integrated Circuit，集積回路）と呼ばれる電子部品の集合体であることをご存知ですね。PentiumなどのCPU（プロセッサ）も，数100Mバイト実装されたメイン・メモリーも，その実体はICです。ICの構造上，コンピュータは2進数を使うことになるのです。

図1●デジタルICの外観
　ICは，四角いボディーの側面にピンが並んだムカデのような形状や，ボティーの裏にピンが並んだ剣山のような形状をしています（図1）。このピンには，もちろん電気を与えます。数あるピンの中の数本は，IC自体が動作するための電源を与えるためのものです。それ以外のピンは，IC同士がお互いに信号をやり取りするためのものです。この信号は，電圧の有無で伝えるようになっています。多くの場合に，直流電圧＋5V（電圧あり）と0V（電圧なし）の2通りだけの電圧が使われます。コンピュータは，＋5Vを数字の1，0Vを数字の0とみなし，ICのピン1本で2進数の1けたを表しているのです。データ入出力のために8本のピンを使うICなら，同時に8けたの2進数を取り扱えることになります。

　「デジタル」という言葉を聞いたことがあるでしょう。デジタル（digital）とは，「指折り数える」という意味です。コンピュータの内部で使われているICのことを，特に「デジタルIC」と呼ぶことがあります。これは，ICのピン1本1本が指折り数える機能を持っていることを意味しています。指を曲げた状態が0で，指を立てた状態が1だと考えてください。実際には，ICのピンが折り曲がって動作するわけではなく，電圧の有無が指の折り曲げ状態に相当します。デジタルだから2進数なのだと考えてください。

　もしも，ICのピン1本で，0V，＋1V，＋2V，…，＋9Vの10通りの電圧を取り扱えたなら，コンピュータが直接10進数を使えるでしょう。しかし，それはできません。ICの内部は，数十～数百万個のトランジスタと呼ばれる素子から構成されています。トランジスタは，スイッチの役割をします。スイッチONとスイッチOFFです。これが，ICのピンの電圧の有無を生み出すものとなります。2進数の必然性を理解していただけましたか。

ビットとバイト

　「いまさら，そんな話は聞きたくな～い」と言われてしまいそうですが，話の流れですので，ビットとバイトの説明をさせていただきます。2進数の1けたを1ビットと呼びます。ビット（bit）とは，「破片」という意味です。2進数の1けたが，情報の破片＝情報の最小単位というわけです。これは，言い得て妙ですね。1進数というものはあり得ません。1進数では，0という数字だけを使うことになるので，どんなにけた数を増やしても0しか表せないからです。○○進数というものは，2進数が最小であり，2進数の最小けたである1けた，すなわち1ビットが情報の最小単位になります。

　1ビットで表せる情報は，0と1の2通りです。これで用が足りる場合もあります。例えば，物事の真偽（True/False），答案の○×，スイッチのON/OFFなどです。ただし，たった2通りの情報を取り扱うためにコンピュータを使う人はいません。コンピュータは，数値の計算ができなければなりません。それでは，何けた（何ビット）の2進数があればよいのでしょう？

　1ビットなら2通り，2ビットなら4通り，3ビットなら8通り，4ビットなら16通り…そうです！　4ビットあれば，16通りの情報が表せるので，10進数の0～9をコンピュータで取り扱え，計算ができます。事実，電卓用に開発された世界最初のCPU（単体のプロセッサ）である4004は，4ビットを取り扱うものでした（4004の開発者は，日本人の嶋正利氏です。4004のことは，嶋氏の著書である「マイクロコンピュータの誕生－わが青春の4004，岩波書店」に詳しく書いてあります）。4ビットのことを「ニブル」と呼ぶこともおぼえておいてください。ニブル（nibble）とは，「ひとつまみ」という意味です。これまた，言い得て妙ですね。

　さて，コンピュータで取り扱うデータが数字だけならニブルが情報の基本単位でよかったのですが，実際には文字も取り扱わなければなりません。コンピュータを発明したのは，タイプライタを使う国の人たちだったので，タイプライタのキーに刻印されたすべての文字を表せる8ビットの2進数（＝256通りの情報）を情報の基本単位とすることになりました。これがご存知「バイト」です。バイト（byte）の意味を英和辞典で調べると，コンピュータ用語としてのバイトとしか示されていません。byte≒bite（かじる）をもじってバイト（ひとかじり）なのだと聞いたことがあるのですが，正しい語源をご存知の方は，この講座のご意欄に書き込みをお願いします。

図2●ビット，ニブル，バイトの関係
　図2[拡大表示]に，ビット，ニブル，バイトの関係をまとめておきます。ビットとバイトだけではなく，ニブル単位，すなわち4ビット単位でデータを取り扱うことも重要だということが，今後の講座の中で分かるでしょう。

2進数から10進数への変換

　皆さんは，2進数で表された数値を10進数に変換することが得意でしょうか？ 変換手順を丸暗記しているなんてのはダメですよ。応用が利きませんから。ここでは，「そもそも○○進数とは何か」ということを説明しますので，2進数から10進数への変換手順を自ら導き出せるようになってください。

　たとえ話を使って，皆さんがお使いの10進数とは何かを説明しましょう。遠い宇宙の彼方からやって来た宇宙人が，「地球人が使っている数を教えてください」と言ったとしましょう。皆さんは，人間の手の指が10本なので，10を基本として数を考えることや，0～9という記号を使って数を表すことを説明します。宇宙人は，興味津々です。皆さんが，紙の上に「789」と書いて見せたところ，宇宙人は不思議そうな顔をしました。

宇宙人：7ト8ト9ヲ・ナラベテ・カクノハ・ナゼデスカ？
皆さん：7は700，8は80，9は9を表しています
宇宙人：ナルホド！0～9マデノ・キゴウ・シカ・ナイノデ・9ノツギハ・ケタアガリ・スルノ・デスネ．ソレデハ・7ト8ト9デ・イクツ・デスカ？
皆さん：789（ななひゃく・はちじゅう・きゅう）です。100が7個，10が8個，1が9個です。
宇宙人：ワカリマシタ！789＝100×7＋10×8＋1×9・トイウ・コトデスネ
皆さん：そうです，そうです。宇宙人さん，頭い～い！

図3●10進数の仕組み
　いかがでしょう。これは，メチャクチャな話じゃないですよ。普段あまり意識したことがないかもしれませんが，789という10進数は，700＋80＋9を表しているのです。より正確に言えば，7×102＋8×101＋9×100です（あらゆる数の0乗は1です）。このとき，それぞれのけたの数字に掛けている10を「基数」と呼びます。10進数の基数は10です。基数の指数部の値は，1けた目を0乗として，けたが上がるごとに1つずつ増えていきます。789の7は，単なる7ではなく7×102であるわけですが，このとき7に掛けられている102を「重み」と呼びます。10進数の桁のけたみは，10のべき乗になります。当たり前のようですが，これが10進数の仕組みです（図3）。

図4●2進数の仕組み
　基数と重みの考え方は，2進数でも同じです。2進数の基数は2です。2進数の各桁に示された数値（0または1）は，「その数×2桁数－1」を表しています。2進数の全体の値は，それぞれの桁の値を加算したものです。例えば，1011という2進数は，1×233＋0×22＋1×21＋1×20を表しているのです（図4）。

　「2進数の1011→1×23＋0×22＋1×21＋1×20→10進数の11」であることがわかりますね。ただし，最終的に11（じゅう・いち）という値が得られたのは，人間が慣れ親しんだ10進数に変換したからです。もしも，0～Ｆまでの記号を使う16進数しか使えない宇宙人がいたら，1×23＋0×22＋1×21＋1×20の計算結果をB（16進数のBは，10進数の11です）だと言うでしょう。2進数しか使えない宇宙人がいたら，1×23＋0×22＋1×21＋1×20の計算結果は，1011（いち・ぜろ・いち・いち）のままです。皆さんも誰かに説明するつもりになって，理屈をブツブツ言いながら，2進数から10進数への変換をやってみてください。「なんだ簡単じゃないか，変換方法を丸暗記する必要などないや」と思われることでしょう。

　2進数を10進数に変換できるのですから，10進数を2進数に変換することもできます。それなら，普段お使いの10進数のあらゆる数値を，簡単に2進数で表せると思うでしょう。ところが，それほど現実は甘くないのです。確かに，10進数で使われる0～9という数値は，2進数の0～1001で表せます。0～100なら0～1100100です。ところが，数値にはマイナス記号や小数点も使われます。2進数の0と1だけを使ったのでは，マイナス記号や小数点を表せません。2進数でも－1011.0101などと書けばよいと思われるかもしれませんが，それは紙の上の話です。デジタルICには，マイナス記号や小数点を表す電圧がありません。どうすればよいのでしょうか？ 次回と次々回の講座で説明します。お楽しみに！

【今後の予定】
第2回　補数表現と符号拡張
第3回　小数点数を表す方法
第4回　TrueとFalseの世界
第5回　誤差の原因と対策

クイズの解答：
問1　エ
問2　ア